ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se llaman ecuaciones lineales.

Una ecuación con dos variables tiene infinitas soluciones dentro de los números reales, es decir, una combinación infinita de respuestas cumplirá con las condiciones de la ecuación. Si tenemos solamente una ecuación de este tipo no podemos determinar el valor exacto de cada una de las variables.

La expresión general de una ecuación lineal es ax + by = c, con:

a, b → coeficientes de las incógnitas; son valores conocidos.

c → es el término independiente, valor conocido.

x, y → incógnitas de la ecuación lineal; son valores desconocidos.

Tendremos, eso sí, la opción de tener el valor de una de las variables o incógnitas en función de la otra. Veamos a continuación como podríamos resolver el primero de los ejemplos:

a)    7x +5y -24 = 0
b)    a + 5b = -85
c)    13x = 7 - 11y

Hayamos el valor de x	Hayamos el valor de y
7x +5y -24 = 0	7x +5y -24 = 0
7x = 24 -5y	5y = 24 -7x
x = 24 -5y           7	y = 24 -7x          5

Como podemos apreciar las respuestas quedaran en función de la otra variable o incógnita y no se podrá hallar un valor numérico exacto.

Sistemas de ecuaciones con dos variables

Para resolver ecuaciones con dos variables, necesariamente debemos tener dos ecuaciones. Estas dos ecuaciones en conjunto forman el sistema de ecuaciones con dos variables o incógnitas.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones individualmente no podrían ser resueltas, sin embargo, en conjunto si podrían ser resueltas, y de esta manera podríamos hallar el valor tanto de la variable "x" como de la variable "y":

2x + 3y = 5
5x + 6y = 4

A continuación veremos los diferentes métodos de resolución de este tipo de ecuaciones.

Método de Reducción

En este método buscamos que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas.

Nos remitimos a nuestro ejemplo original:

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que queremos resolver.
2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la primera como en la segunda ecuación, el coeficiente es múltiplo de 3.
-4x - 6y = -10 5x + 6y =    4	Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes opuestos, multiplicamos a todos los términos de la primera ecuación por -2
-4x - 6y = -10 5x + 6y =    41x        =  -6	Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera ecuación con la segunda ecuación.
1x = -6     ó    x = -6	Hemos encontrado el valor de la variable "x"
2x + 3y = 5 2(-6) + 3y = 5	Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella reemplazamos el valor de la variable "x"
-12 + 3y = 5 3y = 5 + 12 3y = 17	Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuación es similar al de cualquier ecuación de primer grado.
y= 17     3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones con este método debemos despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y reemplazar la expresión obtenida en la otra ecuación.

Veamos el mismo ejemplo anterior:

2x + 3y = 55x + 6y = 4	De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de ellas, como por ejemplo, la primera de ellas.
2x + 3y = 5	En mi ecuación escojo una variable para despejar.
2x + 3y = 5 3y = 5 -2x	Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y" a un lado y llevo los demás al otro lado.
y = 5 -2x   3	Hallamos el valor de la variable "y"
5x + 6(5 -2x) = 4    3	Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación (recordemos que estará multiplicando al coeficiente)
5x + 10 - 4x = 4 5x - 4x = 4 - 10 1x = -6 x = -6	Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable "x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17     3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Igualación

Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.

Apreciemos el trabajo en el mismo ejemplo:

2x + 3y = 55x + 6y = 4	Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación. En ambas buscare el valor de "y"
2x + 3y = 5 3y = 5 -2x y = 5 -2x   3	Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5x + 6y = 4 6y = 4 -5x y = 4 -5x    6	Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5 -2x = 4 -5x 3          6	Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos que están dividiendo pasaran a multiplicar
6(5 -2x) = 3(4 -5x) 30 -12x = 12 -15x 15x -12x = 12 - 30 3x = -18 x = -18 = -6 3	Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17     3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Sistemas Incompatibles

Decimos que un sistema es incompatible cuando no se puede resolver. Veamos lo que sucede en el siguiente ejemplo:

3x + y = 4 6x + 2y = 4	Si quisiera resolver empleando el método de reducción, tendría que multiplicar a la primera ecuación por -2
-6x - 2y = -8 6x + 2y = 4 0 = -4	Observamos que al realizar este paso, ambas variables se eliminan (desaparecen las dos). Es entonces cuando decimos que el sistema es incompatible (sin solución).

TRINOMIO AL CUADRADO

TRINOMIO AL CUADRADO

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, mas el cuadrado del segundo, mas el cuadrado del tercero, mas el doble del primero por el segundo, mas el doble del primero por tercero, mas el doble del segundo por el tercero

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =

= x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

BINOMIO AL CUBO

Binomio al cubo

Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene lo que se conoce como un binomio al cubo. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cubo como (a + b) ³. Desarrollando la multiplicación se tiene:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)³ = (a² + ab + ba + b²)(a + b)
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b)
(a + b)³ = (a²)(a) + (a²)(b) + (2ab)(a) + (2ab)(b) + (b²)(a) + (b²)(b)
(a + b)³ = a³ + a²b + 2²b + 2ab² + ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cubo. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cubo el primer término del binomio, sumarle el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo, sumarle el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo y finalmente sumarle el cubo del segundo término.

Ejemplo. Obtener el cubo de x + 2y y de 3xy + 5.
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)³ = (x)(x)(x) + 3(x)(x)(2y) + 3(x)(2y)(2y) + (2y)(2y)(2y)
(x + 2y)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³
(3xy + 5)³ = (3xy)(3xy)(3xy) + 2(3xy)(3xy)(5) + 2(3xy)(5)(5) + (5)(5)(5)
(3xy + 5)³ = 27x³y³ + 90x²y² + 150xy + 125

Binomio al cubo de resta

La identidad (a + b)³ = a² + 3a²b + 3ab² + b³ es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cubo y desarrollar la multiplicación tenemos:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b)
(a - b)³ = (aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b))(a - b)
(a - b)³ = (a² - ab - ab + b²)(a - b)
(a - b)³ = (a² - 2ab + b²)(a - b)
(a - b)³ = (a²)(a) + (a²)(-b) + (-2ab)(a) + (-2ab)(-b) + (b²)(a) + (b²)(-b)
(a - b)³ = a³ - a²b - 2a²b + 2ab² + 2ab² - b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado los términos quedan intercalados positivos y negativos

TRIANGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros, ordenados en forma de triángulo simétrico.

También es conocido como Triángulo de Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.

El Triángulo se construye de la siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)

 

                  PROPIEDADES Y APLICACIONES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL Ó DE TARTAGLIA

El triángulo de Pascal o de Tartaglia es  útil para calcular los coeficientes del binomio de Newton. La fórmula que permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

El coeficiente binomial es el número de subconjuntos de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos y esta dado por la fórmula

Los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal y son combinatorios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b) a la n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.

La primera diagonal sólo “unos”, y la siguiente son todos los números naturales (1,2,3, .)
La tercer diagonal son los números triangulares y la cuarta diagonal son los números tetraédricos

 Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras.

                             

PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término. 

( a + b )² = a² + 2ab + b²

Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.

( a - b )² = a² - 2ab + b²

Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.

( a + b ) ( a - b ) = a² - b²

Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes.

( x + a)(x + b) = x² + ( a + b) x + ab

Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.

( a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ = a³ + b³ + 3 ab (a + b)

Binomio Diferencia al Cubo  El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.

( a - b )³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³

Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b²)

Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b²)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.

( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac)