Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene lo que se conoce como un binomio al cubo. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cubo como (a + b) 3. Desarrollando la multiplicación se tiene:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + ab + ba + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2)(a) + (a2)(b) + (2ab)(a) + (2ab)(b) + (b2)(a) + (b2)(b)
(a + b)3 = a3 + a2b + 22b + 2ab2 + ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3 = (a2 + ab + ba + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2)(a) + (a2)(b) + (2ab)(a) + (2ab)(b) + (b2)(a) + (b2)(b)
(a + b)3 = a3 + a2b + 22b + 2ab2 + ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cubo. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cubo el primer término del binomio, sumarle el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo, sumarle el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo y finalmente sumarle el cubo del segundo término.
Ejemplo. Obtener el cubo de x + 2y y de 3xy + 5.
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)3 = (x)(x)(x) + 3(x)(x)(2y) + 3(x)(2y)(2y) + (2y)(2y)(2y)
(x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
(3xy + 5)3 = (3xy)(3xy)(3xy) + 2(3xy)(3xy)(5) + 2(3xy)(5)(5) + (5)(5)(5)
(3xy + 5)3 = 27x3y3 + 90x2y2 + 150xy + 125
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)3 = (x)(x)(x) + 3(x)(x)(2y) + 3(x)(2y)(2y) + (2y)(2y)(2y)
(x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
(3xy + 5)3 = (3xy)(3xy)(3xy) + 2(3xy)(3xy)(5) + 2(3xy)(5)(5) + (5)(5)(5)
(3xy + 5)3 = 27x3y3 + 90x2y2 + 150xy + 125
La identidad (a + b)3 = a2 + 3a2b + 3ab2 + b3 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cubo y desarrollar la multiplicación tenemos:
(a - b)3 = (a - b)(a - b)(a - b)
(a - b)3 = (aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b))(a - b)
(a - b)3 = (a2 - ab - ab + b2)(a - b)
(a - b)3 = (a2 - 2ab + b2)(a - b)
(a - b)3 = (a2)(a) + (a2)(-b) + (-2ab)(a) + (-2ab)(-b) + (b2)(a) + (b2)(-b)
(a - b)3 = a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + 2ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a - b)3 = (aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b))(a - b)
(a - b)3 = (a2 - ab - ab + b2)(a - b)
(a - b)3 = (a2 - 2ab + b2)(a - b)
(a - b)3 = (a2)(a) + (a2)(-b) + (-2ab)(a) + (-2ab)(-b) + (b2)(a) + (b2)(-b)
(a - b)3 = a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + 2ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado los términos quedan intercalados positivos y negativos
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