ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se llaman ecuaciones lineales.

Una ecuación con dos variables tiene infinitas soluciones dentro de los números reales, es decir, una combinación infinita de respuestas cumplirá con las condiciones de la ecuación. Si tenemos solamente una ecuación de este tipo no podemos determinar el valor exacto de cada una de las variables.

La expresión general de una ecuación lineal es ax + by = c, con:

a, b → coeficientes de las incógnitas; son valores conocidos.

c → es el término independiente, valor conocido.

x, y → incógnitas de la ecuación lineal; son valores desconocidos.

Tendremos, eso sí, la opción de tener el valor de una de las variables o incógnitas en función de la otra. Veamos a continuación como podríamos resolver el primero de los ejemplos:

a)    7x +5y -24 = 0
b)    a + 5b = -85
c)    13x = 7 - 11y

Hayamos el valor de x	Hayamos el valor de y
7x +5y -24 = 0	7x +5y -24 = 0
7x = 24 -5y	5y = 24 -7x
x = 24 -5y           7	y = 24 -7x          5

Como podemos apreciar las respuestas quedaran en función de la otra variable o incógnita y no se podrá hallar un valor numérico exacto.

Sistemas de ecuaciones con dos variables

Para resolver ecuaciones con dos variables, necesariamente debemos tener dos ecuaciones. Estas dos ecuaciones en conjunto forman el sistema de ecuaciones con dos variables o incógnitas.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones individualmente no podrían ser resueltas, sin embargo, en conjunto si podrían ser resueltas, y de esta manera podríamos hallar el valor tanto de la variable "x" como de la variable "y":

2x + 3y = 5
5x + 6y = 4

A continuación veremos los diferentes métodos de resolución de este tipo de ecuaciones.

Método de Reducción

En este método buscamos que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas.

Nos remitimos a nuestro ejemplo original:

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que queremos resolver.
2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la primera como en la segunda ecuación, el coeficiente es múltiplo de 3.
-4x - 6y = -10 5x + 6y =    4	Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes opuestos, multiplicamos a todos los términos de la primera ecuación por -2
-4x - 6y = -10 5x + 6y =    41x        =  -6	Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera ecuación con la segunda ecuación.
1x = -6     ó    x = -6	Hemos encontrado el valor de la variable "x"
2x + 3y = 5 2(-6) + 3y = 5	Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella reemplazamos el valor de la variable "x"
-12 + 3y = 5 3y = 5 + 12 3y = 17	Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuación es similar al de cualquier ecuación de primer grado.
y= 17     3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones con este método debemos despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y reemplazar la expresión obtenida en la otra ecuación.

Veamos el mismo ejemplo anterior:

2x + 3y = 55x + 6y = 4	De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de ellas, como por ejemplo, la primera de ellas.
2x + 3y = 5	En mi ecuación escojo una variable para despejar.
2x + 3y = 5 3y = 5 -2x	Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y" a un lado y llevo los demás al otro lado.
y = 5 -2x   3	Hallamos el valor de la variable "y"
5x + 6(5 -2x) = 4    3	Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación (recordemos que estará multiplicando al coeficiente)
5x + 10 - 4x = 4 5x - 4x = 4 - 10 1x = -6 x = -6	Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable "x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17     3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Igualación

Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.

Apreciemos el trabajo en el mismo ejemplo:

2x + 3y = 55x + 6y = 4	Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación. En ambas buscare el valor de "y"
2x + 3y = 5 3y = 5 -2x y = 5 -2x   3	Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5x + 6y = 4 6y = 4 -5x y = 4 -5x    6	Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5 -2x = 4 -5x 3          6	Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos que están dividiendo pasaran a multiplicar
6(5 -2x) = 3(4 -5x) 30 -12x = 12 -15x 15x -12x = 12 - 30 3x = -18 x = -18 = -6 3	Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17     3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Sistemas Incompatibles

Decimos que un sistema es incompatible cuando no se puede resolver. Veamos lo que sucede en el siguiente ejemplo:

3x + y = 4 6x + 2y = 4	Si quisiera resolver empleando el método de reducción, tendría que multiplicar a la primera ecuación por -2
-6x - 2y = -8 6x + 2y = 4 0 = -4	Observamos que al realizar este paso, ambas variables se eliminan (desaparecen las dos). Es entonces cuando decimos que el sistema es incompatible (sin solución).